В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  x ± y ± z = n  (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (x₀, y₀, z₀)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка  (kx₀, ky₀, kz₀)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

   Решение

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого многоугольника расположены две точки.
Докажите, что найдётся четырёхугольник с вершинами в вершинах этого многоугольника, содержащий эти две точки.

Подсказка

Проведите прямую через эти две точки.

Решение

Проведём прямую через эти две точки. Пусть она пересекает две стороны AB и CD многоугольника. Тогда отрезок этой прямой лежит внутри четырёхугольника с вершинами A, B, C, D, следовательно, две данные точки лежат внутри четырёхугольника с вершинами A, B, C, D. (Если некоторые две из точек A, B, C, D совпадут, то добавим к этим точкам ещё одну вершину многоугольника.)

Источники и прецеденты использования