Версия для печати
Убрать все задачи

---

Постройте на стороне BC данного треугольника ABC такую точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны AB и AC, параллельна BC.

   Решение

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?

Решение

  Пусть в i-й строке мы изменили знак x_i раз, в k-м столбце – y_k раз. Тогда в клетке, стоящей на пересечении i-й строки и k-го столбца, знак изменится
x_i + y_k  раз. Следовательно, в этой клетке будет стоять минус в том и только в том случае, когда  x_i + y_k  нечётно. Таким образом, общее количество минусов в полученной таблице зависит только от чётности чисел x_i и y_k. Пусть x – количество нечётных чисел среди x_i, y – количество нечётных чисел среди y_k. Тогда, как нетрудно посчитать, общее число минусов в таблице будет равно  x(100 – y) + (100 – x)y = 100x + 100y – 2xy.
  Предположим, что нам удалось получить ровно 1970 минусов. Тогда  1970 = 100x + 100y – 2xy,  или  (x – 50)(y – 50) = 1515 = 15·101.
  Поскольку число 101 простое, то либо  х – 50,  либо  y – 50  делится на 101. Но это невозможно, так как  |x − 50| ≤ 50  и  |y − 50| ≤ 50  (равняться нулю эти множители тоже не могут). Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования