|
|
 |
Условие
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое
натуральное число $1$, $2$, $3$, ... можно было представить единственным способом
в виде разности двух чисел этой последовательности?
Решение
Будем строить последовательность, начав с двух чисел с разностью $1$ (например, с чисел $1$ и $2$) и добавляя по два числа.
Предположим, что мы построили конечную последовательность, обладающую следующими свойствами:
- все попарные разности между членами этой последовательности различны;
- числа $1$, $2$, ..., $k$ можно представить в виде разности двух её членов.
- число $k + 1$ нельзя представить в виде разности двух её членов.
Заметим, что каждое новое добавленное число больше всех предыдущих, поэтому строящаяся последовательность возрастает. Это значит, что наибольшая разность среди «старых» чисел была меньше $M$, и при этом разность любого из двух новых чисел и любого из старых не меньше $M+1$. Разность двух новых чисел равна $k+1$ и по построению ещё не встречалась; если же оказались равными разности новых чисел и старых, то разность этих старых равна разности новых, то есть $k+1$ – но по предположению $k+1$ нельзя представить как разность старых чисел. Значит, все разности в дополненной последовательности также различны, а первая не реализуемая разность увеличилась по крайней мере на $1$.
Таким образом, применяя такое «дописывание», получим бесконечную последовательность, удовлетворяющую условиям задачи.
Ответ
Существует.
