ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выпуски:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



Задача 73776  (#М241)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Сумма  31974 + 51974  делится на 13. Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73778  (#М243)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n отрезков A1 B1 , A2 B2 , ... , An Bn (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A1 , A2 , ... , An . Докажите, что

++...+=n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73779  (#М244)

Темы:   [ Средние величины ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны два набора из n вещественных чисел:  a1, a2, ..., an  и  b1, b2, ..., bn.  Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
  а) из  ai < aj  следует, что  bi ≤ bj;
  б) из  ai < a < aj,  где  a = 1/n (a1 + a2 + ... + an),  следует, что  bi ≤ bj,
то верно неравенство   n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).

Прислать комментарий     Решение

Задача 73780  (#М245)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Симметрия относительно плоскости ]
[ Правильный тетраэдр ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек Mi и Mj, где i и j любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
Прислать комментарий     Решение


Задача 55650  (#М246)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Симметрия и построения ]
[ Построение треугольников по различным элементам ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.

Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .