Задача 73778

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

Решение

Мы немного обобщим формулировку данной задачи, именно, будем считать, что в точках A_i находятся не единичные массы, а массы m_i (точка G – центр тяжести масс m_i , расположенных в точках A_i ). Докажем, что тогда

m_i = m_i.

Поместим в каждую из точек B_i массу M_i=m_i . Тогда центр тяжести пары точек B_i и A_i (для всех i ) будет находиться в точке G . Мы предполагаем, что не все точки A₁ , ... , A_n лежат на одной прямой (для удобства обозначим наши прямые буквами l₁ и l₂ ). Центр тяжести точек A_i , лежащих на прямой l₁ , обозначим через C₁ ; соответственно центр тяжести точек A_i , находящихся на l₂ , обозначим через C₂ . Аналогично, центр тяжести точек B_i , лежащих на прямой l_k ( k= 1, 2 ), обозначим через D_k . Соответствующие массы обозначим P(C₁) , P(C₂) , P(D₁) , P(D₂) .

Из условия задачи следует, что центр тяжести точек C₁ и C₂ будет в точке G . С другой стороны, из выбора масс M_i следует, что центр тяжести точек C₁ и D₂ будет также в точке G . Поэтому должно быть P(C₂)=P(D₂) . Аналогично получаем P(C₁)=P(D₁) ; значит,

P(C₁)+P(C₂)=P(D₁)+P(D₂).
Но P(C₁)+P(C₂)= m_i , а P(D₁)+P(D₂)= M_i , т.е.
m_i= M_i= m_i ,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1974
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М243