ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73778
Тема:    [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

n отрезков A1 B1 , A2 B2 , ... , An Bn (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A1 , A2 , ... , An . Докажите, что

++...+=n.


Решение

Мы немного обобщим формулировку данной задачи, именно, будем считать, что в точках Ai находятся не единичные массы, а массы mi (точка G – центр тяжести масс mi , расположенных в точках Ai ). Докажем, что тогда

mi = mi.


Поместим в каждую из точек Bi массу Mi=mi . Тогда центр тяжести пары точек Bi и Ai (для всех i ) будет находиться в точке G . Мы предполагаем, что не все точки A1 , ... , An лежат на одной прямой (для удобства обозначим наши прямые буквами l1 и l2 ). Центр тяжести точек Ai , лежащих на прямой l1 , обозначим через C1 ; соответственно центр тяжести точек Ai , находящихся на l2 , обозначим через C2 . Аналогично, центр тяжести точек Bi , лежащих на прямой lk ( k= 1, 2 ), обозначим через Dk . Соответствующие массы обозначим P(C1) , P(C2) , P(D1) , P(D2) .

Из условия задачи следует, что центр тяжести точек C1 и C2 будет в точке G . С другой стороны, из выбора масс Mi следует, что центр тяжести точек C1 и D2 будет также в точке G . Поэтому должно быть P(C2)=P(D2) . Аналогично получаем P(C1)=P(D1) ; значит,

P(C1)+P(C2)=P(D1)+P(D2).

Но P(C1)+P(C2)= mi , а P(D1)+P(D2)= Mi , т.е.
mi= Mi= mi ,

что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М243

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .