Задача 73776

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Мейзус С.И.

Сумма  3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴  делится на 13. Докажите это.

Решение 1

3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴ = (3¹⁹⁷⁴ + 2¹⁹⁷⁴) + (5¹⁹⁷⁴ – 2¹⁹⁷⁴).   3¹⁹⁷⁴ + 2¹⁹⁷⁴ = 9⁹⁸⁷ + 4⁹⁸⁷  делится на  9 + 4 = 13.   5¹⁹⁷⁴ – 2¹⁹⁷⁴ = 125⁶⁵⁸ + 8⁶⁵⁸  делится на
125 – 8 = 117 = 9·13.

Решение 2

3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴ = (27)⁶⁵⁸ + (25)⁹⁸⁷ ≡ 1⁶⁵⁸ + (–1)⁹⁸⁷ = 1 – 1 = 0 (mod 13).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1974
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М241