ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73780
Темы:    [ Системы точек ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Симметрия относительно плоскости ]
[ Правильный тетраэдр ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 7
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек Mi и Mj, где i и j любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?

Решение

а) Возможны два взаимно исключающих друг друга случая.

1o . Всякие пять из N точек, построенных с соблюдением требований задачи, оказываются расположенными на одной прямой.

2o . Не всякие пять из N точек оказываются на одной прямой: по крайней мере три точки образуют треугольник; пусть это будут точки M1 , M2 и M3 (этого всегда можно добиться, меняя, если нужно, нумерацию чисел rij ).

Рассмотрим сначала более общий случай 2o . Докажем, что в случае 2o все N точек построить можно. Построим Δ M1 M2 M3 (так, чтобы M1 M2=r12 , M1 M3=r13 , M2 M3=r23 ). Так как по условию можно построить на плоскости любые пять из N точек, то четыре из N точек тем более можно построить (так, чтобы расстояния между ними равнялись заданным числам).

Воспользовавшись этим, построим поочередно точки M4 , M5 , ... , MN , следя при построении точки Mk ( 4 k N ) лишь за тем, чтобы M1 Mk=r1k , M2 Mk=r2k и M3 Mk=r3k .

Нам понадобится следующая

Лемма. Даны четыре точки на плоскости: A , B , C и D ; A , B и C не лежат на одной прямой. Пусть E такая точка, что AE=AD , BE=BD и CE=CD . Тогда E обязательно совпадает с D .

Доказательство. AE=AD и BE=BD ; значит, если E и D не совпадают, то они симметричны относительно AB . Аналогично, если E и D не совпадают, то они симметричны относительно AC (и относительно BC ). Так как две точки не могут быть одновременно симметричны и относительно AB , и относительно AC , то, значит E=D .

Вернемся к решению нашей задачи.

Согласно лемме положение точки Mk ( 4 k N ) всякий раз определяется однозначно. Проверим, что построенные таким образом точки– искомые: для любых i и j расстояние Mi Mj=rij .

Если хотя бы одни из индексов равен 1 , 2 или 3 , то это следует непосредственно из построения. Пусть оба индекса, i и j , больше 3 . Построим на плоскости пять точек A1 , A2 , A3 , Ai и Aj так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись заданному числу (в частности, Ai Aj=rij )– по условию это сделать можно. Передвинем пятиугольник A1 A2 A3 Ai Aj так, чтобы Δ A1 A2 A3 совпал с Δ M1 M2 M3 (эти два треугольника равны). По лемме точки Ai и Aj совпадут при этом с точками Mi и Mj . Тем самым Mi Mj=rij , что и требовалось доказать.

В случае 1o (когда любые пять точек оказываются на одной прямой) все N точек тем более можно построить, поскольку верно следующее утверждение:

Пусть нужно построить N точек на прямой (так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись заданным числам rij) . Числа rij заданы так, что всякие четыре из N точек построить можно. Тогда можно построить все N точек.

Доказывается это утверждение в точности по той же схеме, что и выше.

б) В общем случае из возможности построения любых четырех точек не следует возможность построения всех N точек. Приведем соответствующий пример для N=5 .

Пусть D – центр правильного треугольника ABC (рис.4), E – точка, симметричная D относительно BC . Положим r12=r13=r23=AB , r14= r24=r34=r15=r25=r35=AD , r45=DE . Построить пять точек M1 , ... , M5 так, чтобы Mi Mj=rij при всех i и j , очевидно, невозможно: если выполнены 9 равенств Mi Mj=rij (все, кроме M4 M5=r45 ), то по лемме M4=M5 ; значит, все 10 равенств одновременно выполняться не могут. Вместе с тем любые четыре точки из пяти построить можно: все точки, кроме M4 и все, кроме M5 , образуют конфигурацию ABCD ; остальные три "<четверки" точек образуют конфигурацию BDCE на рис.4.

в) В случае построения точек не на плоскости, а в пространстве, наименьшее число K , такое, чтобы возможность построения любых K из N точек, обеспечивала построение и всех N точек, равно шести.

То, что шести точек достаточно, доказывается так же, как и в пункте а). То, что пяти точек мало, следует, как и в пункте б), из рис.5, где E – центр правильного тетраэдра ABCD , a F – точка, симметричная точке E относительно грани KBCD .

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М245

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .