ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73779
Темы:    [ Средние величины ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два набора из n вещественных чисел:  a1, a2, ..., an  и  b1, b2, ..., bn.  Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
  а) из  ai < aj  следует, что  bi ≤ bj;
  б) из  ai < a < aj,  где  a = 1/n (a1 + a2 + ... + an),  следует, что  bi ≤ bj,
то верно неравенство   n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).


Решение

  б) Предположим, что при некоторых значениях a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn выполняется неравенство
n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) < (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).   (1)
  Если не все ai равны между собой, то найдутся такие ai и aj, что  ai < a < aj. Рассмотрим числа a и  ai + aj – a;  большим из этих чисел заменим aj, а меньшим ai (при этом ai увеличивается, а aj уменьшается, причём на одну и ту же величину  Δ > 0,  так что  Ai = ai + Δ,  Aj = aj – Δ).
  Новые наборы {Ai}, {bi} по-прежнему будут удовлетворять условию задачи. Если в новом наборе {Ai} не все числа оказываются одинаковыми, то снова проделаем указанную выше операцию и т.д. После конечного числа шагов мы получим набор, в котором уже все числа {ai} равны a. Поскольку на каждом шаге правая часть неравенства (1) не менялась  (Aj + Ai = ai + aj),  а левая убывала
(Aibi + Ajbj = (ai + Δ)bi + (aj – Δ)bj = aibi + ajbj + Δ(bi – bj) < aibi + ajbj,  так как  bi – bj < 0,  а  Δ > 0),  то и для последнего набора неравенство (1) должно выполняться. Но если все ai равны a, то и левая и правая части неравенства (1) одинаковы и равны  na(b1 + ... + bn).  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М244

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .