Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

   Решение

а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число c_k, что   ≥ c_k  для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение c_k.

   Решение

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Скалярное произведение ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P₁, P₂, P₃, P₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P₁ ≤ P₂ + P₃ + P₄; б) если S₁, S₂, S₃, S₄ — площади соответствующих граней тетраэдра, то P₁S₁ ≤ P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄.

Решение

Заметим сначала, что задача а) является частным случаем задачи б). Поэтому мы будем решать задачу б). Пусть v_i — вектор, перпендикулярный i-й грани тетраэдра, направленный внутрь тетраэдра и равный по модулю площади этой грани, p — вектор, перпендикулярный плоскости данного треугольника и равный по модулю его площади (один из двух). Тогда, по формуле для площади проекции многоугольника, P_iS_i = |(p, v_i)|.
Лемма. v₁ + v₂ + v₃ + v₄ = 0.
Доказательство. Пусть v — некоторый вектор единичной длины, α — перпендикулярная ему плоскость. Тогда число (v, v₁ + v₂ + v₃ + v₄) равно сумме площадей проекций граней тетраэдра на плоскость α, где площадь берётся со знаком "+", если при проекции ориентация не меняется и со знаком "−" в противном случае. А эта сумма площадей равна нулю. Следовательно, для любого вектора v число (v, v₁ + v₂ + v₃ + v₄) равно нулю. А значит, v₁ + v₂ + v₃ + v₄ = 0.
Следовательно, P₁S₁ = |(p, v₁)| = |(p, v₂) + (p, v₃) + (p, v₃)| ≤ |(p, v₂)| + |p, v₃)| + |(p, v₃)| = P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования