Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Тема:    [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом гомотетии -1/2 описанная окружность S треугольника ABC переходит в описанную окружность S₁ треугольника A₁B₁C₁. Так как окружность S₁ пересекает все стороны треугольника ABC, то можно построить треугольник A'B'C' со сторонами, параллельными сторонам треугольника ABC, для которого S₁ будет вписанной окружностью (рис.). Пусть r и r' — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и A'B'C'; R и R₁ — радиусы окружностей S и S₁. Ясно, что rr' = R₁ = R/2. Равенство достигается, если треугольники A'B'C' и ABC совпадают, т. е. S₁ — вписанная окружность треугольника ABC. В этом случае AB₁ = AC₁, поэтому AB = AC. Аналогично AB = BC.

Источники и прецеденты использования