ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79592
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A1A2...A12 диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 пересекаются в одной точке.


Решение

Рассмотрим треугольник A2A4A8. Прямые A2A6, A3A8 и A4A11 — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A3A8, A5A1 и A11A4 – биссектрисы углов треугольника A3A5A11. Отсюда следует, что диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 проходят через одну точку.

Замечания

В "Задачнике Кванта" задача была в следующей формулировке:
  Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике существуют четыре диагонали, не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 54
Год 1991
вариант
Класс 9
задача
Номер 3
журнал
Название "Квант"
год
Год 1991
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1291а

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .