Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

Решение

По условию вершины k-угольника разбиты на пары {A_i, A_j} так, что точка O принадлежит каждому из отрезков A_iA_j. Более того, для любой другой пары {A_p, A_q} точки A_p и A_q лежат по разные стороны от прямой A_pA_q. Из этого следует, что по обе стороны от прямой A_iA_j лежит по точек (в частности, k чётно). Таким образом, O — точка пересечения "больших" диагоналей k-угольника, т.е. диагоналей A_iA_{i +} .

Источники и прецеденты использования