Версия для печати
Убрать все задачи

---

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

   Решение

---

При какой перестановке a₁, a₂, ..., a₂₀₁₁ чисел 1, 2, ..., 2011 значение выражения

будет наибольшим?

   Решение

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

Решение

Зафиксируем вершины A, B, построим точку D, симметричную A относительно B, и возьмём точку C так, что  ∠BCD = 150°.  Тогда высота AK треугольника ABC равна высоте DH треугольника BCD, то есть  ½ CD.  С другой стороны, медиана BM является средней линией треугольника ACD, то есть тоже равна  ½ CD  (см. рис.). Будем теперь двигать точку C по дуге BD, вмещающей угол 150°. Когда C стремится к B, биссектриса CL угла ACB стремится к нулю, а медиана BM – к  ½ AB.  Когда C стремится к D, BM стремится к нулю, а  CL ≥ BC. Значит, существует положение точки C, при котором  CL = BM = AK.

Ответ

Существует.

Замечания

Нетрудно видеть, что при движении C от B к D биссектриса возрастает, а высота и медиана убывают. Следовательно, углы искомого треугольника определяются однозначно.

Источники и прецеденты использования