Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A₁, B₁, C₁ – проекции X на BC, CA, AB, а A₂, B₂, C₂ – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A₁, B₁, C₁ на, соответственно, B₂C₂, C₂A₂, A₂B₂, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

   Решение

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Даны 16 чисел: 1, 11, 21, 31 и т.д. (каждое следующее на 10 больше предыдущего).
Можно ли расставить их в таблице 4×4 так, чтобы разность каждых двух чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, не делилась на 4?

Подсказка

Обратите внимание: разность чисел в соседних клетках может быть 10, 30, 50 и т.д. и не может быть 20, 40, 60 и т.д.

Решение

Один из вариантов приведён в таблице.

Ответ

Можно.

Замечания

Идеология. Половина наших чисел при делении на 4 даёт остаток 1, а половина – остаток 3. Раскрасим таблицу в шахматном порядке, в чёрные клетки поставим числа с остатком 1, а в белые – остальные.

Источники и прецеденты использования