{a₁, a₂, ..., a₂₀} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b₀, b₁, b₂, ...} по следующему правилу:
b₀ — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b₁ — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b₂ — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.

   Решение

Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

Решение

Заметим, что, например, $C_MC_H=|AC_H-BC_H|/2$. Следовательно, $C_MC_H/C_HC=|\operatorname{ctg} A -\operatorname{ctg} B|/2$. Из этого и двух аналогичных равенств сразу следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования