Задача 107634

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

{a₁, a₂, ..., a₂₀} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b₀, b₁, b₂, ...} по следующему правилу:
b₀ — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b₁ — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b₂ — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.

Решение

Рассмотрим следующую конструкцию. Возьмем набор кубиков и будем строить из них "башенки" — столбики высотой a₁, a₂, ..., a_n (смотрите рисунок). Посчитаем двумя способами, сколько кубиков нам для этого понадобится. Считая по столбцам получаем, что количество кубиков равно сумме чисел первого набора. Другой способ подсчета — по слоям. Количество кубиков в первом слое (стоящих на полу) равно b₀ = n, в следующем слое — b₁, и т. д., количество кубиков в i-м слое равно b_i.
Поэтому общее число кубиков равно сумме чисел второго набора.
Значит, суммы чисел обоих наборов совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	1998
Название	конкурс по математике
Задача
Номер	1