Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

   Решение

Темы:    [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

При каком натуральном K величина     достигает максимального значения?

Решение

Рассмотрим последовательность     Заметим, что     Но     Следовательно, наше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда  n ≤ 2000.  Это значит, что последовательность до 2001-го члена возрастает, а затем убывает.

Ответ

При  n = 2001.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования