Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 36 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 24 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
РешениеИз колоды вынули семь карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Лёше по три карты, а оставшуюся карту
а) спрятали;
б) отдали Коле.
Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша
и Лёша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры
происходят открытым текстом.)
Решение
|
|
 |
Условие
Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина?
Решение
Очевидно, что ширина картины больше одной клеточки. Нарисуем внутри картины еще одну рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Тогда в маленькой рамке, как и в большой, будет по четыре угловых клеточки (они закрашены), а каждая сторона будет на две клеточки короче. Поэтому в маленькой рамке будет на 8 клеточек меньше, чем в большой (эти клеточки заштрихованы). Значит, из 8 клеточек и составится прямоугольник, образовавшийся внутри маленькой рамки. Очевидно, что прямоугольник площадью 8 клеточек может иметь размеры 2×4 или 1×8. Отсюда ответ.
Ответ
3×10 или 4×6 клеточек.
Замечания
1. Алгебраическое решение. Те, кто уже хорошо знаком с алгеброй, могут получить ответ другим способом. Если картина – прямоугольник a×b клеточек, то картина в рамке – это уже прямоугольник (a + 2)×(b + 2) клеточек, поэтому (a + 2)(b + 2) = 2ab. Раскрывая скобки, получим
2a + 2b + 4 = ab, то есть (a – 2)(b – 2) = 8. Значит, либо одно из чисел a – 2 и b – 2 равно 1, а другое 8, либо же одно из чисел a – 2 и b – 2 равно 2, а другое 4.
2. 8 баллов.
