На сторонах  AB, BC, CA правильного треугольника ABC взяты точки P, Q, R так, что  AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 2 : 1.
Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

   Решение

Тема:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).

Подсказка

Раскрасьте клетки в 4 цвета так, чтобы никакие две клетки одного цвета не соприкасались.

Решение

Рассмотрим некоторую (бесконечную) строку и все строки, идущие через одну клетку от нее. Клетки каждой из этих строк окрасим через одну красным и желтым. Рассмотрим оставшиеся строки. Клетки каждой из этих строк окрасим через одну синим и зеленым. Таким образом, каждая клетка получила свой цвет и никакие две клетки одного цвета не соприкасаются. Остается заметить, что так как отмечено 2000 клеток, то клеток хотя бы одного из цветов не меньше 2000/4=500 (по принципу Дирихле).

Источники и прецеденты использования