Две окружности с центрами M и N, лежащими на стороне AB треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны AC и BC в точках A, P и B, Q соответственно. Причем AM = PM = 2, BN = = QN = 5. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если известно, что отношение площади треугольника AQN к площади треугольника MPB равно 15)/(5).

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Свойства сечений ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.

Решение

  Стороны пятиугольника лежат в пяти гранях куба. Среди этих пяти граней есть две пары параллельных. Поэтому параллельны и соответствующие стороны пятиугольника. Это значит, что пятиугольник получается из некоторого параллелограмма ABCD срезанием одного из его углов (например, отрезанием треугольника DEF).
  Предположим, что длины всех сторон пятиугольника находятся в пределах от 80 до 120 см. Тогда то же верно и для параллелограмма ABCD. Поэтому длины отрезков ED и DF не превышают 40 см. Это, однако, противоречит неравенству треугольника:  ED + DF ≤ 80 ≤ EF.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования