ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 101877
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD с боковой стороной  CD = 30°  диагонали пересекаются в точке E, а углы AED и BCD равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки C, D и E, пересекает основание AD в точке F и касается прямой BF. Найдите высоту трапеции и её основания.


Подсказка

Докажите, что треугольник FCD – равнобедренный, BC – касательная к указанной окружности, треугольники BFC и CFD подобны, как и треугольники ACF и DBC.


Решение

  Обозначим  ∠CFD = ∠CED = α  (эти углы опираются на одну дугу), тогда  ∠CDF = 180° – ∠BCD = 180° – ∠AED = α.  Значит, треугольник CFD – равнобедренный, поэтому его высота CH является медианой. Пусть R – радиус указанной окружности. По теореме синусов
sin α = sin∠CFD = CD/2R = 15/17.  Следовательно,  CH = CD sin α = 450/17.
  Поскольку  ∠BCF = ∠CFD = ∠CDF,  то по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая BC касается окружности в точке C. Значит,  BC = BF  и  ∠BFC = ∠BCF = ∠CDF.  Следовательно, во-первых,     во-вторых, треугольники BFC и CFD подобны, поэтому  CF : BC = FD : CD,  откуда  FD = CD·CF/BC.  Поскольку  ∠CAF = ∠ACB = ∠ECB = ∠CDE = ∠CDB,  ∠ACF = ∠BDF = ∠CBD,  то треугольники ACF и DBС подобны. Значит,  AF = CD·CF/BC = FD,  а  AD = 2FD = 4CD cos∠ CDF = 960/17.


Ответ

450/17, 255/8, 960/17.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3616

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .