Задача 101877

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD с боковой стороной  CD = 30°  диагонали пересекаются в точке E, а углы AED и BCD равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки C, D и E, пересекает основание AD в точке F и касается прямой BF. Найдите высоту трапеции и её основания.

Подсказка

Докажите, что треугольник FCD – равнобедренный, BC – касательная к указанной окружности, треугольники BFC и CFD подобны, как и треугольники ACF и DBC.

Решение

  Обозначим  ∠CFD = ∠CED = α  (эти углы опираются на одну дугу), тогда  ∠CDF = 180° – ∠BCD = 180° – ∠AED = α.  Значит, треугольник CFD – равнобедренный, поэтому его высота CH является медианой. Пусть R – радиус указанной окружности. По теореме синусов
sin α = sin∠CFD = ^CD/_2R = ¹⁵/₁₇.  Следовательно,  CH = CD sin α = ⁴⁵⁰/₁₇.
  Поскольку  ∠BCF = ∠CFD = ∠CDF,  то по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая BC касается окружности в точке C. Значит,  BC = BF  и  ∠BFC = ∠BCF = ∠CDF.  Следовательно, во-первых,     во-вторых, треугольники BFC и CFD подобны, поэтому  CF : BC = FD : CD,  откуда  FD = CD·^CF/_BC.  Поскольку  ∠CAF = ∠ACB = ∠ECB = ∠CDE = ∠CDB,  ∠ACF = ∠BDF = ∠CBD,  то треугольники ACF и DBС подобны. Значит,  AF = CD·^CF/_BC = FD,  а  AD = 2FD = 4CD cos∠ CDF = ⁹⁶⁰/₁₇.

Ответ

⁴⁵⁰/₁₇, ²⁵⁵/₈, ⁹⁶⁰/₁₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3616