ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 101885
Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что  OC = OD  и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырёхугольника, если  ∠AOB = 110°  и ∠COD = 90°.


Решение

  Из условия следует, что COD – равнобедренный прямоугольный треугольник, а AO и BO – биссектрисы соответственно углов A и B четырёхугольника. Пусть OE и OF – перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые AD и BC. Поскольку точка O равноудалена от прямых DA и BC, то  OF = OE.  Поэтому прямоугольные треугольники OFC и OED равны по гипотенузе и катету. Далее можно рассуждать по разному.
  Первый способ.  ∠ADO = ∠BCO,  значит,  ∠ADС = ∠BCD.  Так как  ∠A + ∠B = 2∠BAO + 2∠AВO = 2∠BOС = 2(180° – 110°) = 140°,  то
ADС = ½ (360° – 140°) = 110°.  Отсюда  ∠ADO = 110° – 45° = 65°,  ∠BAO = ∠DAO = 90° – 65° = 25°,  ∠ABO = 70° – 25° = 45°.
  Второй способ.  ∠BOC = ∠DAO = ∠EAO,  значит,  AB || OF,  то есть  ABBC.  Следовательно,  ∠BAO = 70° – ½ ∠ABO = 25°,
ADС = ∠EDO + ∠СDO = (90° – 25°) + 45° = 110°.  Аналогично находится угол BСD.


Ответ

50°, 90°, 110°, 110°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3624

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .