Задача 101887

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка M лежит на боковой стороне CD трапеции ABCD. Известно, что  ∠BCD = ∠CBD = ∠ABM = arccos ⅚  и  AB = 9.  Найдите BM.

Подсказка

Докажите подобие треугольников ABD и MBC.

Решение

Пусть DH – высота трапеции. Поскольку треугольник BDC – равнобедренный, то H – середина BC. Из равенства углов ABM и CBD следует равенство углов ABD и CBM. Кроме того,  ∠ADB = ∠DBC = ∠DCB.  Поэтому треугольники ABD и MBC подобны по двум углам. Значит,
BM = AB·^BC/_BD = AB·2cos∠DBH = 15.

Ответ

15.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3626