Информация о задаче

Задача 101893

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5 $\sqrt{5}$ .

Подсказка

Докажите, что AC — диаметр окружности.

Решение

Поскольку DE — общее основание равновеликих треугольников ADE и CDE, то их высоты, опущенные из вершин A и C, равны, поэтому AC $\Vert$ DE. Аналогично BC $\Vert$ AD. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому

$\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ DBC = $\displaystyle \angle$ ACB.

Значит, CA — биссектриса угла BCE и AB = AE, а прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BE. Следовательно, отрезок AC — диаметр окружности, а четырёхугольник ABCD — прямоугольник. Поэтому AC = BD и по условию задачи 3AC + 2BD = 5CD = 5 $\sqrt{5}$ . Значит, диаметр окружности равен $\sqrt{5}$ , а её длина равна $\pi$ $\sqrt{5}$ .

Ответ

$\pi$ $\sqrt{5}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3632