Задача 102213

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Длины сторон треугольника ABC равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках D, E и F. Найдите площадь треугольника DEF.

Подсказка

Решив систему уравнений, найдите отрезки, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника. Затем, найдя площадь исходного треугольника по формуле Герона, воспользуйтесь формулой: S_DAF = ^{. .} S_ABC (если точка D лежит на стороне AB, а точка F — на стороне AC).

Решение

По формуле Герона находим, что S_ABC = = 3. Пусть точки D, E и F лежат соответственно на сторонах AB = 4, BC = 6 и AC = 8. Обозначим AD = AF = x, BD = BE = y, CE = CF = z. Тогда

откуда находим, что x = 3, y = 1, z = 5. Тогда

S_DAF = ^{. .} S_ABC = ^{. .} 3 = ,

S_DBE = ^{. .} S_ABC = ^{. .} 3 = ,

S_ECF = ^{. .} S_ABC = ^{. .} 3 = .

Следовательно,

S_DEF = S_ABC - S_DAF + S_DBE + S_ECF = 3 - + + = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3652