Задача 102219

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренной трапеции средняя линия равна m, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции.

Подсказка

Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна средней линии трапеции.

Решение

Через вершину C меньшего основания BC данной равнобедренной трапеции ABCD проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E. Тогда ACE — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его площадь равна площади данной трапеции, основание AE — сумме оснований трапеции, т.е. удвоенной средней линии, а т.к. CAD = 45^o, то высота CH равна отрезку AH, который по свойству равнобедренной трапеции равен её средней линии. Следовательно,

S_ABCD = S_ACE = AE ^. CH = ^. 2m ^. m = m².

Ответ

m².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3658