Информация о задаче

Задача 102245

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точки E и F являются серединами сторон AB и BC соответственно. Точка G лежит на отрезке EF так, что EG : AE = 1 : 2 и FG = BE. Найдите: а) отношение площадей треугольников ABG и AGC; б) $\angle$ GCA, если $\angle$ AGC = 90^o.

Подсказка

Пусть $\angle$ GCA = $\alpha$ . Применяя теорему косинусов к треугольнику AEG, составьте уравнение относительно sin $\alpha$ .

Решение

Пусть EG = x, тогда BE = AE = 2x, GF = 2x, AC = 2EF = 6x. Если расстояние между параллельными прямыми EF и AC равно h, то

S_ABG = 2S_AEG = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ EG^.h = xh, S_AGC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.h = 3xh.

Следовательно, S_ABG : S_AGC = 1 : 3. Обозначим $\angle$ GCA = $\alpha$ , AG = t. Тогда $\angle$ EGA = $\angle$ GAC = 90^o - $\alpha$ , t = AC sin $\alpha$ = 6x sin $\alpha$ . Применяя теорему косинусов к треугольнику AEG, получим уравнение

4x² = x² + t² - 2xt cos(90^o - $\displaystyle \alpha$ ),

или

4x² = x² + 36x²sin² $\displaystyle \alpha$ - 12x²sin² $\displaystyle \alpha$ ,

откуда находим, что sin² $\alpha$ = ${\frac{1}{8}}$ .

Ответ

а) 1:3; б) arcsin ${\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3672