Информация о задаче

Задача 102249

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции BCDE основание BE = 13, основание CD = 3, CE = 10. На описанной около трапеции BCDE окружности взята отличная от E точка A так, что CA = 10. Найдите длину отрезка BA и площадь пятиугольника ABCDE.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ ACB = $\angle$ CDE.

Решение

Поскольку трапеция BCDE вписана в окружность, то она равнобедренная. Заметим, что угол CDE — тупой, поэтому для любой точки X, отличной от E и лежащей на дуге CE, содержащей точку D, CX < CE = 10 (в треугольнике CDE против тупого угла лежит наибольшая сторона). Следовательно, точка не может лежать на этой дуге. Точка A не может лежать и на дуге BC, не содержащей точки D ( CB = DE < CE = 10). Таким образом, точка A лежит на дуге BE, не содержащей точки C. Докажем равенство углов $\angle$ ACB и $\angle$ CED. Действительно, $\angle$ BAC = $\angle$ BEC = $\angle$ DCE, а т.к.

$\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle \angle$ ADE и $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ CAE = $\displaystyle \angle$ CEA = $\displaystyle \angle$ ADC,

то

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ ABE + $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ ADE + $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle \angle$ CDE.

Поэтому равны и углы $\angle$ ACB = $\angle$ CED (как оставшиеся углы треугольников ABC и CDE). Следовательно, равны и хорды, на которые опираются эти углы, т.е. AB = CD = 3. Обозначим $\angle$ ABE = $\angle$ ACE = $\alpha$ . Из треугольников ABE и ACE по теореме косинусов находим, что

AE² = AB² + BE² - 2AB^.BE^.cos $\displaystyle \alpha$ = 9 + 169 - 2^.3^.13^.cos $\displaystyle \alpha$ = 178 - 78 cos $\displaystyle \alpha$ ,

AE² = AC² + CE² - 2AC^.CE^.cos $\displaystyle \alpha$ = 100 + 100 - 2^.10^.10^.cos $\displaystyle \alpha$ = 200 - 200 cos $\displaystyle \alpha$ .

Из уравнения 178 - 78 cos $\alpha$ = 200 - 200 cos $\alpha$ находим cos $\alpha$ = ${\frac{11}{61}}$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1-\cos^{2} \alpha}$ = $\displaystyle \sqrt{1-\frac{11^{2}}{61^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{(61-11)(61+11)}}{61}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{60}{61}}$ .

Поэтому

S_ABE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BE^.sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3^.13^. $\displaystyle {\textstyle\frac{60}{61}}$ = $\displaystyle {\frac{3\cdot 13\cdot 30}{61}}$ .

Пусть CH — высота равнобедренной трапеции BCDE. Тогда

EH = $\displaystyle {\frac{BE+CD}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{13+3}{2}}$ = 8.

Из прямоугольного треугольника CHE находим, что

CH = $\displaystyle \sqrt{CE^{2}-EH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100-64}$ = 6.

Поэтому SBCDE = ${\frac{BE+CD}{2}}$ ^.CH = 8^.6 = 48. Следовательно,

SBCDEA = SBCDE + S_ABE = 48 + $\displaystyle {\frac{3\cdot 13\cdot 30}{61}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4098}{61}}$ .

Ответ

3; ${\frac{4098}{61}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3676