|
|
 |
Условие
На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону AB в точке E. На стороне BC взята точка G так, что отрезок AG пересекает окружность в точке F, причём отрезки EF и AC параллельны, BG = 2CG и AC = 2. Найдите GF.
Подсказка
Треугольники ABC и GAC подобны.
Решение
Пусть CG = t, ∠CAG = α. Тогда BC = 3t, а так как CE – высота, то ∠B = ∠ACE. Поскольку трапеция AEFC вписана в окружность, то она равнобедренная, поэтому ∠ACE = α. Значит, и ∠B = α. Следовательно, прямоугольные треугольники ABC и GAC подобны по двум углам. Значит,
CG : AC = AC : BC, то есть AC² = CG·BC, или 12 = 3t², откуда t = 2. tg α = CG/AC = , поэтому α = 30°. Следовательно, AG = 2CG = 4. По теореме о касательной и секущей GF = CG²/GA = 1.
Ответ
1.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3678 |
