ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102257
Темы:    [ Удвоение медианы ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна $ \sqrt{7}$.

Подсказка

На продолжении медианы AM данного треугольника отложите отрезок MD, равный отрезку AM.

Решение

На продолжении медианы AM данного треугольника ABC со сторонами AB = 2 и AC = 4 отложим отрезок MD, равный отрезку AM. Тогда четырёхугольник ABDC — параллелограмм, поэтому CD = AB = 2. Применяя теорему косинусов, из треугольника ACD находим, что

cos$\displaystyle \angle$ACD = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2\cdot AC\cdot CD}}$ = $\displaystyle {\frac{16+4-4\cdot7}{2\cdot 4\cdot 2}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$,

поэтому $ \angle$ACD = 120o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BAC = 180o - $\displaystyle \angle$ACD = 180o - 120o = 60o.


Ответ

60o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3684

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .