ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102261
Темы:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны и CD = 2AB. На сторонах AD и BC выбраны точки P и Q соответственно так, что DP : PA = 2, BQ : QC = 3 : 4. Найдите отношение площадей четырёхугольников ABQP и CDPQ.

Подсказка

Продолжите до пересечения боковые стороны трапеции.

Решение

Пусть продолжения боковых сторон AD и BC трапеции пересекаются в точке K. Из условия задачи следует, что AB — средняя линия треугольника KDC. Обозначим AB = z, BQ = 3t, S$\scriptstyle \Delta$AKB = s. Тогда

DP = 2zAK = AD = 3zCQ = 4tBK = BC = 7z

S$\scriptstyle \Delta$KDC = 4sS$\scriptstyle \Delta$KPQ = $\displaystyle {\frac{KP}{KD}}$ . $\displaystyle {\frac{KQ}{KC}}$ . S$\scriptstyle \Delta$KDC = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{6}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{14}}$ . 4s = $\displaystyle {\textstyle\frac{40}{21}}$s,

SABQP = S$\scriptstyle \Delta$KPQ - S$\scriptstyle \Delta$AKB = $\displaystyle {\textstyle\frac{40}{21}}$s - s = $\displaystyle {\textstyle\frac{19}{21}}$s,

SCDPQ = SABCD - SABQP = 3s - $\displaystyle {\textstyle\frac{19}{21}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{44}{21}}$s.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{ABQP}}{S_{CDPQ}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{19}{44}}$.


Ответ

$ {\frac{19}{44}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3688

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .