ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102263
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Полуокружность радиуса r разделена точками на 3 равные части, и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.

Подсказка

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Тогда искомая площадь равна площади сектора AOB,

Решение

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Треугольники AOD, AOB и BOC — равносторонние, $ \angle$AOD = $ \angle$AOB = $ \angle$BOC = 60o, поэтому AB$ \Vert$DC. Значит, S$\scriptstyle \Delta$ADB = S$\scriptstyle \Delta$AOB. В задаче требуется найти пощадь фигуры, составленной из треугольника ADB и сегмента AB, ограниченного дугой AB, не содержащей точку D. Заметим, что сектор AOB состоит из треугольника AOB и этого же сегмента, следовательно, искомая площадь равна площади сектора AOB, т.е. шестой части площади соответствующего круга. Таким образом, искомая площадь равна $ {\frac{\pi r^{2}}{6}}$.


Ответ

$ {\frac{\pi r^{2}}{6}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3690

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .