Информация о задаче

Задача 102263

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Полуокружность радиуса r разделена точками на 3 равные части, и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.

Подсказка

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Тогда искомая площадь равна площади сектора AOB,

Решение

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Треугольники AOD, AOB и BOC — равносторонние, $\angle$ AOD = $\angle$ AOB = $\angle$ BOC = 60^o, поэтому AB $\Vert$ DC. Значит, S_ADB = S_AOB. В задаче требуется найти пощадь фигуры, составленной из треугольника ADB и сегмента AB, ограниченного дугой AB, не содержащей точку D. Заметим, что сектор AOB состоит из треугольника AOB и этого же сегмента, следовательно, искомая площадь равна площади сектора AOB, т.е. шестой части площади соответствующего круга. Таким образом, искомая площадь равна ${\frac{\pi r^{2}}{6}}$ .

Ответ

${\frac{\pi r^{2}}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3690