ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102264
Темы:    [ Формулы для площади треугольника ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 60o и 45o соответственно. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Докажите, что площадь треугольника можно вычислить по формуле

S = 2R2sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$,

где R — радиус описанной около треугольника окружности, $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$— углы треугольника.

Решение

Докажем сначала, что площадь треугольника можно вычислить по формуле

S = 2R2sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$,

где R — радиус описанной около треугольника окружности, $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$— углы треугольника. Пусть a, b, c — стороны треугольника, противолежащие углам $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ соответственно. По теореме синусов a = 2R sin$ \alpha$, b = 2R sin$ \beta$. Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab . sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2R sin$\displaystyle \alpha$ . 2R sin$\displaystyle \beta$ . sin$\displaystyle \gamma$ = S = 2R2sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$.

Пусть K, L и M — середины сторон соответственно AB, BC и AC треугольника ABC. Тогда треугольник ABC подобен треугольнику LMK с коэффициентом 2. По доказанной выше формуле

S$\scriptstyle \Delta$LKM = 2 . 32sin 60osin 45osin 75o = 2 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{9(3+\sqrt{3})}{4}}$.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = 4S$\scriptstyle \Delta$LKM = 9(3 + $\displaystyle \sqrt{3}$).


Ответ

9(3 + $ \sqrt{3}$).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3691

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .