Задача 102272

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D так, что  CD =   и  sin∠ACD : sin∠BCD = 4 : 3.  Через середину отрезка CD проведена прямая, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Известно, что  ∠C = 120°,  площадь треугольника MCN равна 3,  а расстояние от точки M до прямой AB в 2 раза больше расстояния от точки N до этой же прямой. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Решив тригонометрическое уравнение, найдите углы ACD и BCD, затем с помощью теоремы косинусов докажите, что отрезок CD проходит через середину MN.

Решение

  Обозначим  CM = x,  CN = y,  ∠ACD = α,  ∠BCD = β.  По условию  3 sin α = 4 sin(120° – α),  откуда  .
  Пусть P – середина отрезка CD. Поскольку  S_MCP + S_NCP = S_MCN = 3,  то  CM·CP sin α + CN·CP sin β = CM·CN sin 120° = 6,  то есть     или  4x + 3y = 24,  xy = 12,  откуда  x = 3,  y = 4.  По теореме косинусов
MN² = CM² + CN² – 2CM·CN cos 120° = 37,  MP² = CM² + CP² – 2CM·CP cos α = 9 + ¹³/₄ – 3 = ³⁷/₄.
  Следовательно, P – середина отрезка CD. Диагонали четырёхугольника MCND точкой пересечения делятся пополам, поэтому MCND – параллелограмм. Значит,  DN || AM  и  DM || BN,  то есть треугольники BND и DMA подобны, а так как по условию их высоты, проведённые из вершин N и M, относятся как  1 : 2,  то коэффициент подобия этих треугольников равен ½. Поэтому  BN = ½ DM = ½ CN = 2  и  AM = 2DN = 2CM = 6,  откуда  AC = 9  и  BC = 6.  Следовательно,  S_ABC = ½ AC·BC sin 120° = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3699