Условие
На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D так, что
CD =
и sin∠ACD : sin∠BCD = 4 : 3. Через середину отрезка CD проведена прямая, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Известно, что ∠C = 120°, площадь треугольника MCN равна 3
, а расстояние от точки M до прямой AB в 2 раза больше расстояния от точки N до этой же прямой. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Решив тригонометрическое уравнение, найдите углы ACD и BCD, затем с помощью теоремы косинусов докажите, что отрезок CD проходит через середину MN.
Решение
Обозначим CM = x, CN = y, ∠ACD = α, ∠BCD = β. По условию 3 sin α = 4 sin(120° – α), откуда
.
Пусть P – середина отрезка CD. Поскольку SMCP + SNCP = SMCN = 3
, то CM·CP sin α + CN·CP sin β = CM·CN sin 120° = 6
, то есть
или 4x + 3y = 24, xy = 12, откуда x = 3, y = 4. По теореме косинусов
MN² = CM² + CN² – 2CM·CN cos 120° = 37, MP² = CM² + CP² – 2CM·CP cos α = 9 + 13/4 – 3 = 37/4.
Следовательно, P – середина отрезка CD. Диагонали четырёхугольника MCND точкой пересечения делятся пополам, поэтому MCND – параллелограмм. Значит, DN || AM и DM || BN, то есть треугольники BND и DMA подобны, а так как по условию их высоты, проведённые из вершин N и M, относятся как 1 : 2, то коэффициент подобия этих треугольников равен ½. Поэтому BN = ½ DM = ½ CN = 2 и AM = 2DN = 2CM = 6, откуда AC = 9 и BC = 6. Следовательно,
SABC = ½ AC·BC sin 120° =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
web-сайт |
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
задача |
Номер |
3699 |