Информация о задаче

Задача 102290

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Прямоугольные треугольники	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике KMN известны sin $\angle$ KNM = ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ и cos $\angle$ KMN = ${\frac{1}{3}}$ . Найдите отношение длин высот, опущенных соответственно из вершины N на сторону MK и из вершины M на сторону NK.

Подсказка

Из прямоугольных треугольников MAN и NBM выразите высоты MA и NB треугольника KMN через сторону MN.

Решение

Ответ

${\frac{4\sqrt{6}}{9}}$ . Поскольку cos $\angle$ KMN = ${\frac{1}{3}}$ и $\angle$ KMN — угол треугольника, то sin $\angle$ KMN = $\sqrt{1-\frac{1}{9}}$ = ${\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ . Пусть MA и NB — указанные высоты треугольника ABC. Из прямоугольных треугольников MAN и NBM находим, что

AM = MN^.sin $\displaystyle \angle$ ANM = MN^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ и BN = MN^.sin $\displaystyle \angle$ KMN = MN^. $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{BN}{AM}}$ = $\displaystyle {\frac{MN\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}{MN\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{4\sqrt{6}}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3717