Задача 102296

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Медиана делит площадь пополам ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части длиной 5 и 7. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника.

Подсказка

В каждом из двух возможных случаев найдите косинус угла при вершине треугольника.

Решение

Пусть указанная прямая пересекает боковую сторону BC треугольника ABC в точке M. Из равенства площадей следует, что M — середина BC. Пусть AC — основание треугольника ABC. Обозначим AC = a, AB = BC = 2b. По условию задачи либо 2b + b = 5 и a + b = 7, либо 2b + b = 7 и a + b = 5. В первом случае b = , a = . Такой треугольник существует, т.к. AB + BC = + = > = AC. Применяя теорему косинусов, находим, что

cosABC = = - < 0.

Поэтому угол ABC — тупой, и центр описанной около треугольника ABC окружности расположен вне треугольника. Теперь найдём площадь треугольника:

S_ABC = ^. AB ^. BC ^. sinABC = ^{. .} = ^{. .} = .

Во втором случае b = , a = (такой треугольник также существует), cosABC = > 0, поэтому угол ABC — острый, и центр описанной около треугольника ABC окружности расположен внутри треугольника. Наконец,

S_ABC = ^. AB ^. BC ^. sinABC = ^{. .} = ^{. .} = .

Ответ

а) , центр вне треугольника; б) , центр внутри треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3723