Задача 102300

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектриса CD и прямая DE, перпендикулярная CD (точка E лежит на прямой AC). Найдите площадь треугольника ABC, если  CE = 4,  CA = 3.

Подсказка

Проведите медиану DM прямоугольного треугольника CDE.

Решение

  Из условия следует, что точка E лежит на продолжении основания AC за точку A. Пусть M – середина отрезка CE. Тогда DM – медиана прямоугольного треугольника CDE, проведённая из вершины прямого угла, поэтому  DM = ME = MC = 2,  AM = 1,  ∠CDM = ∠MCD = ∠BCD,  значит,  DM || BC.  Следовательно,  ∠DMA = ∠BCE = ∠DAM,  поэтому треугольник ADM – равнобедренный. Его высота DK является медианой, поэтому
DK² = DM² – MK² = 4 – (½)² = ¹⁵/₄.
  Треугольник ABC подобен треугольнику ADM с коэффициентом  ^AC/_AM = 3,  поэтому его высота BH в три раза больше высоты DK треугольника ADM. Следовательно,  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3727