Информация о задаче

Задача 102302

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность пересекает стороны угла BAC в точках B, N, M и C, точка N находится между A и B, точка M — между A и C. Величины углов ACB и BMC равны ${\frac{\pi}{3}}$ и ${\frac{\pi}{4}}$ соответственно, BN = 2MN. Чему равна величина угла BAC?

Подсказка

Примените теоремы косинусов и синусов к треугольнику BMN.

Решение

Обозначим MN = x, BN = 2x, $\angle$ ABM = $\beta$ . Поскольку четырёхугольник BCMN вписан в окружность, то

$\displaystyle \angle$ BNM = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \angle$ BCM = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{2\pi}{3}}$ .

Применяя теоремы косинусов и синусов к треугольнику BMN, получим:

BM = $\displaystyle \sqrt{BN^{2}+MN^{2}-2\cdot BN\cdot MN\cdot \cos \angle BNM}$ = $\displaystyle \sqrt{4x^{2}+x^{2}-2\cdot 2x\cdot x\cdot \cos \frac{2\pi}{3}}$ = x $\displaystyle \sqrt{7}$ ,

$\displaystyle {\frac{MN}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{BM}{\sin \frac{2\pi}{3}}}$ ,

откуда находим, что

sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{MN}{BM}}$ ^.sin $\displaystyle {\frac{2\pi}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}$ .

Поскольку $\beta$ < ${\frac{\pi}{2}}$ (в треугольнике MBN есть тупой угол MNB), то $\beta$ = arcsin ${\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}$ . По теореме о внешнем угле треугольника

$\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ BMC - $\displaystyle \angle$ ABM = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ - $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ - arcsin $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}$ .

Ответ

$\angle$ BAC = ${\frac{\pi}{4}}$ - arcsin ${\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}$ = $\arctg$ ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ - ${\frac{\pi}{12}}$ .
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3729