Информация о задаче

Задача 102306

Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD ( AB $\Vert$ CD) диагонали AC = a, BD = ${\frac{7}{5}}$ a. Найдите площадь трапеции, если $\angle$ CAB = 2 $\angle$ DBA.

Подсказка

Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AB в точке E. Тогда треугольник ACE равновелик данной трапеции.

Решение

Обозначим $\angle$ ABD = $\alpha$ . Тогда $\angle$ CAB = 2 $\alpha$ . Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AB в точке E. Тогда

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \alpha$ , CE = BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ a.

Применяя теорему синусов к треугольнику ACE, получим, что

$\displaystyle {\frac{CE}{\sin \angle CAE}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle AEC}}$ , или $\displaystyle {\frac{\frac{7}{5}a}{\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin \alpha}}$ ,

или 7 sin $\alpha$ = 5 sin 2 $\alpha$ . Поскольку sin $\alpha$ $\ne$ 0, то из этого уравнения находим, что cos $\alpha$ = ${\frac{7}{10}}$ . Тогда sin $\alpha$ = ${\frac{\sqrt{51}}{10}}$ . Поэтому

sin 3 $\displaystyle \alpha$ = 3 sin $\displaystyle \alpha$ - 4 sin³ $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{12\sqrt{51}}{125}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = S_ACE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.CE sin(180^o - 3 $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.a^. $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ a^.sin 3 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{42\sqrt{51}}{625}}$ a².

Ответ

${\frac{42\sqrt{51}}{625}}$ a².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3733