Дан куб с ребром 2. Покажите, как наклеить на него без наложений 10 квадратов со стороной 1 так, чтобы никакие квадраты не граничили по отрезку (по стороне или её части). Перегибать квадраты нельзя.

   Решение

В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет.

   Решение

Темы:    [ Поворот ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка O расположена на стороне AC треугольника ABC так, что  CO : CA = 2 : 3.  При повороте этого треугольника на некоторый угол вокруг точки O вершина B переходит в вершину C, а вершина A – в точку D, лежащую на стороне AB. Найдите отношение площадей треугольников BOD и ABC.

Подсказка

Равнобедренные треугольники BOC, AOD и ABC подобны. Отсюда следует, что D – середина AB.

Ответ

1 : 6.

Источники и прецеденты использования