ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102319
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью $ {\frac{25}{8}}$ можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.

Подсказка

Если r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, то r = $ {\frac{a+b-c}{2}}$. Воспользуйтесь также неравенством $ \pi$ < 3, 15

Решение

Поскольку 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52, то треугольник — прямоугольный. Пусть r — радиус окружности, вписанной в данный треугольник, R — радиус данного круга, S — его площадь. Тогда r = $ {\frac{3+4-5}{2}}$ = 1, а т.к S = $ \pi$R2, то R = $ \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ = $ {\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$. Поскольку $ \pi$ > 3, 14 и $ \sqrt{2}$ > 1, 4, то

2$\displaystyle \pi$$\displaystyle \sqrt{2}$ > 2 . 3, 14 . 1, 4 = 6, 392 > 5,

поэтому

R = $\displaystyle {\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$ < 1 = r

Следовательно, данный круг можно поместить в треугольник со сторонами 3, 4 и 5.


Ответ

Утверждение верно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3746

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .