Информация о задаче

Задача 102325

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5 . Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм, O₁, O₂, O₃ и O₄ — центры окружностей, описанных около треугольников AOB, BOC, COD и AOD соответственно. Пусть $\angle$ AOB = $\varphi$ (0 < $\varphi$ < $\pi$ ). Поскольку O₁O₂, O₂O₃, O₃O₄ и O₁O₄ — серединные перпендикуляры к отрезкам BO, CO, DO и AO соответственно, то O₁O₂O₃O₄ — параллелограмм, причём $\angle$ O₁O₄O₃ = $\angle$ AOB = $\varphi$ . Пусть E — проекция точки O₃ на прямую O₁O₄. Поскольку AO = OC, то O₃E = AO. Тогда AO = O₃O₄^.sin $\varphi$ = 16 sin $\varphi$ . По теореме синусов для треугольника ABO, в котором известен радиус описанной окружности R = 5, получаем, что AB = 2R^.sin $\varphi$ = 10 sin $\varphi$ . В том же треугольнике BO = ${\frac{1}{2}}$ BD, следовательно, по теореме косинусов

AB² = AO² + BO² - 2^.AO^.BO^.cos $\displaystyle \varphi$ , т.е. 100 sin² $\displaystyle \varphi$ = 256 sin² $\displaystyle \varphi$ + 36 - 192 sin $\displaystyle \varphi$ cos $\displaystyle \varphi$ .

или

3 $\displaystyle \ctg^{2}_{}$ $\displaystyle \varphi$ - 16 $\displaystyle \ctg$ $\displaystyle \varphi$ + 16 = 0.

Это уравнение имеет два решения: $\ctg$ $\varphi$ = ${\frac{4}{3}}$ или $\ctg$ $\varphi$ = 4. Поэтому sin $\varphi$ = ${\frac{1}{\sqrt{17}}}$ или sin $\varphi$ = ${\frac{3}{5}}$ . Если S — площадь параллелограмма ABCD, то

S = 4^.S_AOB = 4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AO^.BO^.sin $\displaystyle \varphi$ = 192^.sin² $\displaystyle \varphi$

В первом случае S = ${\frac{192}{17}}$ , во втором S = ${\frac{1728}{25}}$ . $\it {Замечание}$ . Два различных значения площади параллелограмма получаются потому, что центры описанных окружностей O₁, O₂ и O₃, O₄ попарно могут лежать либо по разные стороны (первое значение в ответе), либо по одну сторону (второе значение) от прямой BD.

Ответ

${\frac{192}{17}}$ или ${\frac{1728}{25}}$ = 69, 12.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3753