Задача 102325

Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5 . Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм, O₁, O₂, O₃ и O₄ — центры окружностей, описанных около треугольников AOB, BOC, COD и AOD соответственно. Пусть AOB = (0 < < ). Поскольку O₁O₂, O₂O₃, O₃O₄ и O₁O₄ — серединные перпендикуляры к отрезкам BO, CO, DO и AO соответственно, то O₁O₂O₃O₄ — параллелограмм, причём O₁O₄O₃ = AOB = . Пусть E — проекция точки O₃ на прямую O₁O₄. Поскольку AO = OC, то O₃E = AO. Тогда AO = O₃O₄ ^. sin = 16 sin. По теореме синусов для треугольника ABO, в котором известен радиус описанной окружности R = 5, получаем, что AB = 2R ^. sin = 10 sin. В том же треугольнике BO = BD, следовательно, по теореме косинусов

AB² = AO² + BO² - 2 ^. AO ^. BO ^. cos, т.е. 100 sin² = 256 sin² + 36 - 192 sincos.

или

3 - 16 + 16 = 0.

Это уравнение имеет два решения: = или = 4. Поэтому sin = или sin = . Если S — площадь параллелограмма ABCD, то

S = 4 ^. S_AOB = 4 ^{. .} AO ^. BO ^. sin = 192 ^. sin²

В первом случае S = , во втором S = . . Два различных значения площади параллелограмма получаются потому, что центры описанных окружностей O₁, O₂ и O₃, O₄ попарно могут лежать либо по разные стороны (первое значение в ответе), либо по одну сторону (второе значение) от прямой BD.

Ответ

или = 69, 12.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3753