Информация о задаче

Задача 102327

Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Трапеция с основанием $\sqrt{8}$ и высотой $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ вписана в окружность радиуса $\sqrt{5}$ . Каждый из четырёх отсекаемых сторонами трапеции сегментов отражён внутрь трапеции симметрично относительно отсекающей его стороны. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех точек трапеции, которые не принадлежат ни одному из отражённых внутрь неё сегментов.

Решение

Пусть в трапеции ABCD стороны AD и BC — основания, BC = $\sqrt{8}$ = 2 $\sqrt{2}$ . Поскольку трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная: AB = CD. Пусть M и N — середины оснований BC и AD соответственно. Тогда MN — высота трапеции, MN = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ . Центр O описанной около трапеции окружности лежит на прямой MN. Поскольку

MO = $\displaystyle \sqrt{OC^{2}-MC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{5-2}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ < MN,

точка O лежит внутри трапеции. Тогда

NO = MN - MO = $\displaystyle \sqrt{2}$ , AN = ND = $\displaystyle \sqrt{OD^{2}-ON^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно, AD > BC, поэтому $\angle$ BAD = $\angle$ CDA — острые углы, а $\angle$ ABC = $\angle$ DCB — тупые. Дуги AB, BC, CD и AD отражаются внутрь трапеции симметрично относительно прямых AB, BC, CD и AD соответственно. Дуги, отражённые внутрь трапеции, далее будем называть внутренними. Пусть XW и YZ — касательные, проведённые к окружности с центром O в точках A и B соответственно, AW', AX', BY' и BZ' — лучи, симметричные лучам AW, AX, BY и BZ относительно прямых AB, AD, AB и BC соответственно. (Таким образом, AW' касается внутренней дуги AB в точке A, AX' касается внутренней дуги AD и т.д). Пусть E и F — точки, симметричные точке O относительно прямых AD и CD соответственно. Заметим, что каждый из углов $\angle$ WAB, $\angle$ XAD — это угол между касательной и хордой, поэтому

$\displaystyle \angle$ W'AB + $\displaystyle \angle$ X'AD = $\displaystyle \angle$ WAB + $\displaystyle \angle$ XAD = $\displaystyle \angle$ BCA + $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ BCD > $\displaystyle \angle$ BAD.

Это означает, что внутренние дуги AB и AD пересекаются внутри трапеции. Пусть K — точка их пересечения. Аналогично доказывается, что внутренние дуги CD и AD тоже пересекаются в некоторой точке L, лежащей внутри трапеции. В то же время

$\displaystyle \angle$ Y'BA + $\displaystyle \angle$ Z'BC = $\displaystyle \angle$ YBA + $\displaystyle \angle$ ZBC = $\displaystyle \angle$ ADC < $\displaystyle \angle$ ABC,

откуда следует, что дуги внутренние AB и BC не пересекаются внутри трапеции. Аналогично для внутренних дуг BC и CD. Поскольку

OC = OD = FC = ED = EL = FL = $\displaystyle \sqrt{5}$ ,

то OCFD и ELFD — ромбы, значит, OC $\Vert$ FD $\Vert$ EL. Следовательно, EOCL — параллелограмм, CL = OE = 2^.ON = 2 $\sqrt{2}$ и CL $\Vert$ OE. Тогда BC = CL и BC $\perp$ CL. Аналогично доказывается, что BC = BK и BC $\perp$ BK. Значит, KBCL — квадрат. Таким образом, дуги BC, BK, CL и KL равны, так как это дуги равных окружностей, стягиваемые равными хордами. Дуги AB и BC не пересекаются внутри трапеции, следовательно, дуги BC, BK, CL и KL не пересекаются внутри квадрата KBCL. Пусть S₁ — площадь каждого из сегментов, отсекаемых равными хордами BC, BK, CL и KL от равных кругов. Площадь s сегмента круга радиуса r, дуга которого задаётся центральным углом $\alpha$ , вычисляется по формуле

s = $\displaystyle {\frac{r^{2}}{2}}$ ( $\displaystyle \alpha$ - sin $\displaystyle \alpha$ ).

В нашем случае

sin $\displaystyle \angle$ COM = $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{5}}$ , cos $\displaystyle \angle$ COM = $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}}$ ,

значит,

sin $\displaystyle \angle$ BOC = 2^.sin $\displaystyle \angle$ COM^.cos $\displaystyle \angle$ COM = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{5}}$ .

Поэтому

S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\arcsin \frac{2\sqrt{6}}{5} - \frac{2\sqrt{6}}{5}}\right.$ arcsin $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{5}}$ - $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{5}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\arcsin \frac{2\sqrt{6}}{5} - \frac{2\sqrt{6}}{5}}\right)$ .

Пусть S — искомая площадь фигуры, состоящей из всех точек трапеции, которые не принадлежат ни одному из отражённых внутрь неё сегментов. Тогда

S = BC² - 4^.S₁ = 8 + 4 $\displaystyle \sqrt{6}$ - 10 arcsin $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2\sqrt{6}}{5}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{5}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2\sqrt{6}}{5}}\right)$ .

Ответ

8 + 4 $\sqrt{6}$ - 10 arcsin $\left(\vphantom{\frac{2\sqrt{6}}{5}}\right.$ ${\frac{2\sqrt{6}}{5}}$ $\left.\vphantom{\frac{2\sqrt{6}}{5}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3755