Задача 102349

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах острого угла ABC взяты точки A и C. Одна окружность касается прямой AB в точке B и проходит через точку C. Вторая окружность касается прямой BC в точке B и проходит через точку A. Точка D – вторая общая точка окружностей. Известно, что  AB = a,  CD = b,  BC = c.  Найти AD.

Подсказка

Треугольники DBC и DAB подобны.

Решение

По теореме об угле между касательной и хордой  ∠DBC = ∠BAD,  ∠ABD = ∠BCD,  поэтому треугольники DBC и DAB подобны по двум углам. Следовательно,  BD : CD = AB : BC.  Отсюда  BD = AB·^CD/_BC = ^ab/_c,  а так как  AD : BD = AB : BC,  то  AD = BD·^AB/_BC = ^ab/_c·^a/_c = b(^a/_c)².

Ответ

b(^a/_c)².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3777