Информация о задаче

Задача 102363

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.

Подсказка

Достройте данный треугольник до прямоугольника и воспользуйтесь утверждением: "Суммы квадратов расстояний от произвольной точки до противоположных вершин прямоугольника равны".

Решение

Пусть M и N — проекции точек соответственно O и E на гипотенузу AB. Заметим, что M середина AB. Поскольку EN $\Vert$ OM $\Vert$ CD и E — середина OC, то EN — средняя линия трапеции COMD, поэтому N — середина отрезка MD. Высота EN треугольника DEM является его медианой, поэтому треугольник DEM — равнобедренный. Следовательно, EM = ED = a. На продолжении отрезка CM за точку M отложим отрезок MF, равный CM. Тогда ACBF — прямоугольник, EM — средняя линия треугольника COF, OF = 2^.EM = 2a. Таким образом, нам известны расстояния от точки O до трёх вершин прямоугольника ACBF. Поскольку OC² + OF² = OA² + OB², то

OC² = OA² + OB² - OF² = b² + b² - 4a² = 2b² - 4a².

Следовательно, CE = ${\frac{1}{2}}$ OC = ${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{2b^{2}-4a^{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{2b^{2}-4a^{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3791