Задача 102363

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.

Подсказка

Достройте данный треугольник до прямоугольника и воспользуйтесь утверждением: "Суммы квадратов расстояний от произвольной точки до противоположных вершин прямоугольника равны".

Решение

Пусть M и N — проекции точек соответственно O и E на гипотенузу AB. Заметим, что M середина AB. Поскольку ENOMCD и E — середина OC, то EN — средняя линия трапеции COMD, поэтому N — середина отрезка MD. Высота EN треугольника DEM является его медианой, поэтому треугольник DEM — равнобедренный. Следовательно, EM = ED = a. На продолжении отрезка CM за точку M отложим отрезок MF, равный CM. Тогда ACBF — прямоугольник, EM — средняя линия треугольника COF, OF = 2 ^. EM = 2a. Таким образом, нам известны расстояния от точки O до трёх вершин прямоугольника ACBF. Поскольку OC² + OF² = OA² + OB², то

OC² = OA² + OB² - OF² = b² + b² - 4a² = 2b² - 4a².

Следовательно, CE = OC = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3791