|
|
 |
Условие
Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция ABCD (BC || AD), площадь которой равна 48. Окружность касается сторон AB и CD в точках K и L. Найдите KL.
Подсказка
Пусть BH – высота трапеции, OP – перпендикуляр, опущенный из центра O окружности на хорду KL, K – точка касания окружности с боковой стороной AB. Тогда треугольники OPK и AHB подобны.
Решение
Пусть окружность радиуа r = 3 касается боковых сторон AB и CD трапеции ABCD соответственно в точках K и L соответственно; BH = 2r – высота трапеции. Из симметрии следует, что KL || BC. Поскольку трапеция ABCD описана, то BC + AD = AB + CD = 2AB.
По условию ½ (BC + AD)·6 = 48, откуда BC + AD = 16. Значит, AB = 8.
Перпендикуляр OP, опущенный из центра O окружности делит хорду KL пополам. Из подобия прямоугольных треугольников OPK и AHB следует, что
PK : OK = BH : AB. Отсюда KL = 2PK = 2BH·OK/AB = 9/2.
Ответ
4,5.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3799 |
