Информация о задаче

Задача 102385

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC отрезок AD — медиана, AD = m, AB = a, AC = b. Найдите $\angle$ BAC.

Подсказка

Достройте данный треугольник ABC до параллеллограмма ABKC и примените теорему косинусов.

Решение

На продолжении медианы AD за точку D отложим отрезок DK, равный AD. Диагонали BC и AK четырёхугольника ACKB делятся точкой пересечения D пополам, значит, ACKB — параллелограмм. Поэтому CK = AB = a.

Применив теорему косинусов к треугольнику ACK, находим, что

cos $\displaystyle \angle$ ACK = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+CK^{2}-AK^{2}}{2\cdot AC\cdot CK}}$ = $\displaystyle {\frac{b^{2}+a^{2}-4m^{2}}{2ba}}$ .

а т.к. $\angle$ BAC = 180^o - $\angle$ ACK, то

cos $\displaystyle \angle$ BAC = - cos $\displaystyle \angle$ ACK = $\displaystyle {\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}$ .

Следовательно, $\angle$ BAC = arccos ${\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}$ .

Ответ

arccos ${\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3805