Информация о задаче

Задача 102401

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол $\angle$ B — тупой, продолжение высот AM и CN пересекаются в точке O, $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ BCA = $\gamma$ , AC = b. Найдите расстояние от точки O до прямой AC.

Подсказка

Высота OH остроугольного треугольника AOC проходит через точку B.

Решение

Пусть H — проекция точки O на AC. Поскольку AN, CM и OH — высоты остроугольного треугольника AOC, то прямая OH проходит через точку B (высоты треугольника пересекаются в одной точке), при этом точка H лежит на отрезке AC, $\angle$ AOH = $\angle$ ACM = $\gamma$ , $\angle$ COH = $\angle$ CAN = $\alpha$ .

Обозначим OH = x. Из прямоугольных треугольников AHO и CHO находим, что

AH = OH^.tg $\displaystyle \angle$ AOH = xtg $\displaystyle \gamma$ , CH = OH^.tg $\displaystyle \angle$ COH = xtg $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку AH + HB = AC, имеем уравнение

xtg $\displaystyle \gamma$ + xtg $\displaystyle \alpha$ = b.

Откуда находим, что

OH = x = $\displaystyle {\frac{b}{{\rm tg }\gamma + {\rm tg }\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{b\cos \alpha \cos \gamma}{\sin (\alpha + \gamma)}}$ .

Ответ

b^. ${\frac{\cos \alpha \cos \gamma}{\sin (\alpha + \gamma)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3821