Задача 102407

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC, площадь которого равна 2. На медианах AK, BL и CN треугольника ABC взяты соответственно точки P, Q и R так, что AP : PK = 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : RN = 5 : 4. Найдите площадь треугольника PQR.

Подсказка

Найдите отношения , и , где Где O — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

= = = 2.

Заметим, что

S_AOB = S_AOC = S_BOC = ^. S_ABC = .

Обозначим AK = 6a, BL = 6b, CN = 9c. Тогда

OP = OA - AP = 4a - 3a = a, OQ = OB - BQ = 4b - 2b = 2b, OR = 6c - 5c = c.

Следовательно,

S_PQR = S_POQ + S_POR + S_ROQ =

= ^{. .} S_AOB + ^{. .} S_AOC + ^{. .} S_BOC =

= ^{. .} S_AOB + ^{. .} S_AOC + ^{. .} S_BOC =

= ^{. .} S_AOB + ^{. .} S_AOC + ^{. .} S_BOC =

= ^. + ^. + ^. = + + = ^. = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3829