Информация о задаче

Задача 102410

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник KLM с основанием KM, равным ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , и стороной KL, равной 1. Через точки K и L проведена окружность, центр которой лежит на высоте LF, опущенной на основание KM. Известно, что FM = ${\frac{\sqrt{3}}{6}}$ . и точка F лежит на KM. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Подсказка

Опустите из центра O указанной окружности перпендикуляр OA на хорду KL и рассмотрите прямоугольные треугольники FKL и AOL.

Решение

Поскольку точка F лежит на отрезке KM, то

KF = KM - FM = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Опустим из центра O указанной окружности радиуса R перпендикуляр OA на хорду KL. Тогда A — середина KL. Обозначим $\angle$ FLK = $\alpha$ . Из прямоугольного треугольника FKL находим, что sin $\alpha$ = ${\frac{FK}{KL}}$ = ${\frac{\sqrt{3}}{3}}$ . Тогда cos $\alpha$ = $\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Из прямоугольного треугольника OAL находим, что

R = OL = $\displaystyle {\frac{AL}{\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$ .

Следовательно, площадь круга равна $\pi$ R² = ${\frac{3}{8}}$ $\pi$ .

Ответ

${\frac{3}{8}}$ $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3832